Operaciones con vectores

OPERACIONES CON VECTORES

·         VERSORES. - Un versor es el vector cuyo módulo o valor es “1” e indica la dirección y sentido de un eje de coordenadas.

I.- SUMA DE VECTORES. - Si tenemos dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero (llamado en física: vector resultante). Para resolver la suma de vectores se emplea los siguientes métodos:

            A) Método Gráfico:

                        1.- Método del paralelogramo

                        2.- Método del triángulo

                        3.- Método del polígono

            B) Método Analítico:

                        - Ley de los cosenos

                        - Descomposición rectangular

A) METODO GRAFICO. - Cuando se suman vectores, se pueden utilizar los métodos gráficos del paralelogramo, triangulo y polígono.

Para resolver gráficamente la suma de vectores, generalmente se hace necesario el uso de escalas para reducir la dimensión del vector, de tal manera que se pueda graficar con facilidad.

1.- Método del Paralelogramo. - Se utiliza para sumar dos vectores. Primero se traza a uno de los vectores y con ayuda del transportador se mide el ángulo que separa al otro vector, luego se traza el segundo vector. Luego se trazan las paralelas hasta formar un paralelogramo. El vector resultante es la diagonal del paralelogramo que comienza en el punto de aplicación u origen hasta la unión de las paralelas.

2.- Método del triángulo. - Se utiliza para sumar dos vectores. Se traza al primer vector, con su prolongación. Desde el punto donde termina el vector se levanta el ángulo que separa al otro vector y se traza a este segundo vector. El vector resultante es la recta que une las puntas de los vectores que se han trazado.

3.- Método del polígono. - Se utiliza para sumar tres o más vectores. Se traza el primer vector, seguido del segundo vector considerando el ángulo de separación con el primero; luego de la misma manera el siguiente vector. El vector resultante es aquel que se inicia en el origen del primer vector y termina en el punto donde termina el último vector. Ejm.: 

B.- METODO ANALITICO. - En matemática analíticamente, se suman las componentes. Ej.:

A = (0, 5)

B = (5, 4)

A + B = (0,5) + (5,4) = (0 + 5, 5 + 4) = (5, 9)

Propiedades:

a)    A + B = C (al sumar dos vectores se obtiene otro vector - ley de composición interna)

b)    A = a (x1 , x2) = (a x1 , a x2)  (para a Î R)  [el producto de un vector y un escalar da otro vector]

c)    (- 1) . A = - A (opuesto)        A- 1 = 1 / A (inverso)

d)    A + (B + C) = (A + B) + C   (propiedad asociativa)

e)    A + B = B + A  (propiedad conmutativa)

f)     a . (A + B) = a . A + a . B    (para a Î R)  (propiedad distributiva)

g)    A (a + b) = A . a + A . b      (para a Î R, b Î R)

h)    A + 0 = 0 + A = A  [0 representa el vector nulo (0, 0) que es neutro en suma]

i)      A + (- A) = 0

j)      1 . A = A  (1 es neutro en producto)

k)    0 . A = 0  (0 es absorbente en el producto)

En física, utiliza fórmulas y ecuaciones matemáticas:

1.- METODO DE LA LEY DE LOS COSENOS. - Se utiliza para sumar o restar dos vectores:

2.- METODO ANALITICO DE DESCOMPPOSICIÓN RECTANGULAR. - Se utiliza para sumar más de dos vectores. Todo vector se puede descomponer en cualquier número de componentes; pero para simplificar los cálculos consideramos que un vector se descompone en dos vectores componentes rectangulares:

- Una vertical (eje y)

- Una horizontal (eje x)

Sus valores se hallan de acuerdo a las siguientes fórmulas:

Componente en el eje x :

Componente en el eje y:

CONDICION DE EQUILIBRIO. - Para que un cuerpo esté en equilibrio, la suma de las fuerzas que actúan sobre él debe ser igual a cero.

Σ_f = 0

Luego de hallar los valores de los componentes en los diferentes ejes, se suman:

Σv_{x =} v_x1 + v_x2 + v_x3 + … + v_xn

Σv_{y =} v_y1 + v_y2 + v_y3 + … + v_yn

Luego el valor del vector resultante se encuentra en la siguiente fórmula:

El ángulo que forma la resultante con el eje de las x, se obtiene con:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EN EL CUADERNO DE PRACTICA

I.- RESTA DE VECTORES. -

METODO DEL PARALELOGRAMO. - Para resolver la resta de vectores, el vector sustraendo se cambia por su inverso aditivo y luego se suman los vectores minuendo e inverso aditivo.

METODO DEL TRIANGULO. - Se unen los vectores por su origen, manteniendo su módulo, dirección y sentido. Luego trazamos el vector diferencia, completando el triángulo.

METODO ANALITICO. - Restar dos vectores geométricamente implica "trazar" un tercer vector desde el extremo del primero hasta el extremo del segundo. Aritméticamente restamos las componentes verticales y horizontales entre sí.  Ejm.:

A = (7, 2)

B = (5, 4)

A - B = (7, 2) - (5, 4) = (7 - 5, 2 - 4) = (2, - 2)

Se utiliza la ley de los cosenos, de la siguiente forma: